How to differentiate y=arctanx

Below I’m going to demonstrate how to integrate y=arctanx…

Firstly, we need to know that:

\sin ^{ 2 }{ y } +\cos ^{ 2 }{ y } =1\\ \\ \frac { \sin ^{ 2 }{ y }  }{ \cos ^{ 2 }{ y }  } +\frac { \cos ^{ 2 }{ y }  }{ \cos ^{ 2 }{ y }  } =\frac { 1 }{ \cos ^{ 2 }{ y }  } \\ \\ \tan ^{ 2 }{ y } +1=\sec ^{ 2 }{ y }

We also need to know that:

x=\tan { y } \\ \\ x=\frac { \sin { y }  }{ \cos { y }  } \\ \\ x\cdot \cos { y } =\sin { y } \\ \\ \frac { dx }{ dy } \cdot \cos { y } +x\cdot \left( -\sin { y }  \right) =\cos { y } \\ \\ \frac { dx }{ dy } \cdot \cos { y } -x\sin { y } =\cos { y } \\ \\ \frac { dx }{ dy } \cdot \cos { y } =\cos { y } +x\sin { y } \\ \\ \frac { dx }{ dy } \cdot \cos { y } =\cos { y } +\frac { \sin ^{ 2 }{ y }  }{ \cos { y }  } \\ \\ \frac { 1 }{ \cos { y }  } \cdot \frac { dx }{ dy } \cdot \cos { y } =\frac { 1 }{ \cos { y }  } \left( \cos { y+\frac { \sin ^{ 2 }{ y }  }{ \cos { y }  }  }  \right) \\ \\ \frac { dx }{ dy } =1+\tan ^{ 2 }{ y } \\ \\ \therefore \quad \frac { dx }{ dy } =\sec ^{ 2 }{ y }

And finally:

\frac { dy }{ dy } \cdot \frac { dy }{ dx } =\frac { dy }{ dx }

Now, using implicit differentiation:

y=\arctan { x } \\ \\ \tan { y } =x\\ \\ \sec ^{ 2 }{ y } \cdot \frac { dy }{ dx } =1\\ \\ \frac { dy }{ dx } =\frac { 1 }{ \sec ^{ 2 }{ y }  } \\ \\ \frac { dy }{ dx } =\frac { 1 }{ \tan ^{ 2 }{ y+1 }  } \\ \\ \therefore \quad \frac { dy }{ dx } =\frac { 1 }{ { x }^{ 2 }+1 }

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