If y=a^x, dy/dx=a^xlna proof

{ a }^{ x }=y\\ \\ \log _{ a }{ y=x } \\ \\ \frac { \ln { y } }{ \ln { a } } =x\\ \\ x=\frac { 1 }{ \ln { a } } \cdot \ln { y } \\ \\ x=n\cdot u\\ \\ \therefore \quad \frac { dx }{ du } =n\\ \\ u=\ln { y,\quad \frac { du }{ dy } } =\frac { 1 }{ y } \\ \\ \frac { dx }{ dy } =\frac { dx }{ du } \cdot \frac { du }{ dy } =\frac { n }{ y } \\ \\ \frac { dy }{ dx } =\frac { 1 }{ \frac { dx }{ dy } } \\ \frac { dy }{ dx } =\frac { 1 }{ \frac { n }{ y } } \\ \frac { dy }{ dx } =\frac { y }{ n } \\ \\ but,\quad y={ a }^{ x }\quad and\quad n=\frac { 1 }{ \ln { a } } \\ \\ \therefore \quad \frac { dy }{ dx } =\frac { { a }^{ x } }{ \frac { 1 }{ \ln { a } } } \\ \\ \frac { dy }{ dx } ={ a }^{ x }\cdot \ln { a } \\ \\ \\

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