# Tricky Logarithm Problem…

Find the exact solution to the equation ${ 3 }^{ x }{ e }^{ 7x+2 }=15$.

${ 3 }^{ x }{ e }^{ 7x+2 }=15\\ \\ { 3 }^{ x }{ e }^{ 7x }{ e }^{ 2 }=15\\ \\ { 3 }^{ x }{ e }^{ 7x }=\frac { 15 }{ { e }^{ 2 } } \\ \\ { \left( 3{ e }^{ 7 } \right) }^{ x }=\frac { 15 }{ { e }^{ 2 } } \\ \\ \log _{ e }{ \left( { \left( 3{ e }^{ 7 } \right) }^{ x } \right) } =\log _{ e }{ \left( \frac { 15 }{ { e }^{ 2 } } \right) } \\ \\ x\log _{ e }{ \left( 3{ e }^{ 7 } \right) } =\log _{ e }{ \left( \frac { 15 }{ { e }^{ 2 } } \right) } \\ \\ x=\frac { \log _{ e }{ \left( \frac { 15 }{ { e }^{ 2 } } \right) } }{ \log _{ e }{ \left( 3{ e }^{ 7 } \right) } } =\frac { \log _{ e }{ 15-\log _{ e }{ \left( { e }^{ 2 } \right) } } }{ \log _{ e }{ 3+\log _{ e }{ \left( { e }^{ 7 } \right) } } } =\frac { \ln { 15-2\log _{ e }{ \left( e \right) } } }{ \ln { 3+7\log _{ e }{ \left( e \right) } } } \\ \\ =\frac { \ln { 15-2 } }{ \ln { 3+7 } } ,\quad \therefore \quad x=\frac { -2+\ln { 15 } }{ 7+\ln { 3 } } \\$